📚 الرياضيات المتقطعة - غشّام الاختبار النهائي

مرجع سريع للمراجعة

🧠 المنطق والبراهين
💡 حِيل جدول الصواب:
حيلة ١: n متغير = 2ⁿ صف (٣ متغيرات = ٨ صفوف)
حيلة ٢: إملأ الأعمدة من اليسار لليمين، الأسهل أولاً
حيلة ٣: لـ p→q: الوحيد الخاطئ هو T→F
حيلة ٤: لـ p↔q: صحيح لما القيمتين متساويتين
حيلة ٥: راجع العمود الأخير مرتين!
الروابط المنطقية:
الرمز الإسم متى يكون صحيح؟
¬p نفي عندما p خاطئ
p ∧ q و (AND) كلاهما p و q صحيحين
p ∨ q أو (OR) واحد منهم صحيح على الأقل
p → q إذا – إذن دائماً، إلّا إذا p=T و q=F
p ↔ q إذا وفقط إذا القيمتين متطابقتين
🔥 إثبات التوتولوجي (طريقة الاختبار):
الخطوات:
1. حوّل p→q إلى ¬p∨q (قانون الاقتضاء)
2. طبّق دي مورجان لفك ¬(...)
3. استخدم التجميع/التبديل عشان ترتب
4. دوّر على p∨¬p أو q∨¬q (دايم = T)
5. طبّق T ∨ أي شيء = T (قانون السيطرة)

⚡ دايم اكتب اسم القانون اللي استخدمته!
قواعد الاستدلال الأساسية (احفظها!):
القاعدة الصيغة تذكّرها كذا...
مودس بوننس p→q, p ∴ q "إذا p إذن q، و p صحيح، إذن q"
مودس تولنس p→q, ¬q ∴ ¬p "إذا p إذن q، ليس q، إذن ليس p"
القياس الافتراضي p→q, q→r ∴ p→r "سلسلة اقتضاءات"
القياس الفصلي p∨q, ¬p ∴ q "p أو q، ليس p، إذن q"
التبسيط p∧q ∴ p "إذا الاثنين، إذن أي واحد"
قوانين دي مورجان (استخدمها دايم!):
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (فك AND → OR)
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q (فك OR → AND)
🎯 حِيل ترجمة الكمات:
"كل" → ∀ (لكل)
"بعض / يوجد" → ∃ (يوجد)
"مافي / لا أحد" → ∀ ¬ أو ¬∃

اختصارات النفي:
¬(∀x P(x)) = ∃x ¬P(x) "ليس الكل → بعضهم ليس"
¬(∃x P(x)) = ∀x ¬P(x) "لا يوجد → كلهم ليس"

أمثلة اختبارية:
• "كل الطلاب ما راحوا" → ∀x ¬P(x)
• "بعض الطلاب ما يعرفون" → ∃x ¬Q(x)
• "فيه أحد يذاكر وما راح" → ∃x (R(x) ∧ ¬P(x))
📦 المجموعات
🎯 مجموعات مهمة (احفظها!):
N = الأعداد الطبيعية = {0, 1, 2, 3, ...}
Z = الأعداد الصحيحة = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Z⁺ = الأعداد الصحيحة الموجبة = {1, 2, 3, ...}
Q = الأعداد النسبية (كسور p/q)
R = الأعداد الحقيقية (كل الكسور العشرية، √2، π، e)
R⁺ = الأعداد الحقيقية الموجبة
C = الأعداد المركبة {a + bi}
عمليات المجموعات:
  • A ∪ B - اتحاد (كل العناصر من الطرفين)
  • A ∩ B - تقاطع (العناصر المشتركة بس)
  • A − B - فرق (موجودة في A مو في B)
  • Ā - متممة (كل شي مو موجود في A)
  • A × B - جداء ديكارتي (أزواج مرتبة)
💡 حيلة: إيجاد A و B من أجزائهم:
المعطى: A − B, B − A, A ∩ B

الحيلة:
• A = (A − B) ∪ (A ∩ B) — كل شي في A!
• B = (B − A) ∪ (A ∩ B) — كل شي في B!

مثال اختباري:
A − B = {2, 4, 8}
B − A = {5, 10, 15}
A ∩ B = {3, 6, 9}
→ A = {2, 4, 8, 3, 6, 9}
→ B = {5, 10, 15, 3, 6, 9}
حيلة مجموعة القوى: P(A) = مجموعة كل المجموعات الجزئية
إذا |A| = n، فإن |P(A)| = 2ⁿ
مثال: A = {1, 2} → P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}} → |P(A)| = 2² = 4
متطابقات المجموعات (لإثباتات):
A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A (الهوية)
A ∪ U = U, A ∩ ∅ = ∅ (السيطرة)
A ∪ A = A, A ∩ A = A (تكرار الذات)
A ∪ B = B ∪ A (التبديل)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (التوزيع)
⚡ حيلة سريعة - مبدأ الشمول والتضمين:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
اجمع الطرفين، واطرح اللي عددتهم مرتين!
🔄 الدوال
الأنواع:
  • تباينية (1-to-1): f(a) = f(b) → a = b
  • شمولية (onto): كل y له صورة عكسية
  • تقابل: تباينية + شمولية معاً
تركيب:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
السقف والأرضية:
  • ⌊x⌋ - أكبر عدد صحيح ≤ x
  • ⌈x⌉ - أصغر عدد صحيح ≥ x
🔢 نظرية الأعداد
🔥 غشّام تحليل العوامل الأولية:
✓ كيف تحلل عدد
  1. اقسم على ٢ لين ما توقف
  2. بعدين اقسم على ٣ لين ما توقف
  3. بعدين ٥، ٧، ١١، ١٣، ... (الأعداد الأولية فقط)
  4. وقف لما الرقم اللي يبقى يكون أولي
⭐ للقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر:
القاسم المشترك الأكبر (GCD):
خذ أصغر أس للعوامل الأولية المشتركة.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM):
خذ أكبر أس لكل العوامل الأولية.
مثال من الاختبار:
753 = 3 × 251
45 = 3² × 5

GCD(753, 45) = 3¹ (أصغر أس مشترك)
LCM(753, 45) = 3² × 5 × 251 (أكبر أس لكل عامل)
أولية نسبياً (Coprime):
عددين أوليين نسبياً إذا القاسم المشترك الأكبر بينهم = 1
(ما بينهم أي عامل أولي مشترك)

مثال: (100, 213)
100 = 2² × 5²
213 = 3 × 71
مافي عوامل مشتركة → أوليين نسبياً ✓
خوارزمية القسمة:
a = bq + r, حيث 0 ≤ r < b
الحساب النمطي:
a ≡ b (mod n) يعني n | (a − b)
(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
(a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n
شيفرة قيصر/الإزاحة:
التعمية: f(x) = (x + k) mod 26
فك التعمية: f⁻¹(x) = (x − k) mod 26

مثال من الاختبار:
النص الأصلي: "I am done..."
النص المشفر: "W oa rcbs..."
k = 14 (إزاحة ١٤ حرف)
🎯 الاستقراء الرياضي
🎯 الصيغة الرباعية (دايم!):
  1. الحالة الأساسية: برهن أن P(1) أو P(قيمة البداية) صحيحة
  2. الفرضية الاستقرائية: افترض P(k) صحيحة
  3. الخطوة الاستقرائية: برهن P(k+1) صحيحة باستخدام P(k)
  4. النتيجة: "إذن P(n) صحيحة لكل n ≥ [القيمة]"
💡 حيل الاستقراء:
حيلة ١: في الخطوة ٣، اكتب P(k+1) كاملة أول شي
حيلة ٢: دوّر على P(k) مخبأة داخل P(k+1)
حيلة ٣: حلّل أو بسّط عشان تطابق الصيغة
حيلة ٤: ورّي خطوات الجبر كاملة في الاختبار!

مثال نمطي:
نبي نبرهن: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
• الأساس: n=1 → 1 = 1(2)/2 = 1 ✓
• الفرضية: 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2
• برهان: 1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)
• = (k+1)[k/2 + 1] = (k+1)(k+2)/2 ✓
صيغ شائعة تبرهنها:
1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1
1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n²
⚡ نصيحة سريعة:
إذا عطّلت في الخطوة الاستقرائية، جرّب:
1. عوّض بـ P(k) فوراً
2. وحد المقامات
3. حلّل (k+1) عامل مشترك
4. بسّط عشان توصل لـ P(k+1)
🎲 العد
القواعد الأساسية:
  • قاعدة المجموع: n₁ طريقة أو n₂ طريقة → n₁ + n₂
  • قاعدة الضرب: n₁ طريقة و n₂ طريقة → n₁ × n₂
التباديل vs التوافيق:
P(n,r) = n!/(n−r)! → الترتيب يهم
C(n,r) = n!/(r!(n−r)!) → الترتيب ما يهم
متى تستخدم أي وحدة؟
• ترتيب الناس في طابور؟ تبديل
• اختيار أعضاء لجنة؟ توفيقة
• باسوردات/رموز حيث ABC ≠ CAB؟ تبديل
• اختيار إضافات البيتزا؟ توفيقة
• اختبار: "تسلسل أفضل ٥ أجزاء" → استخدم توفيقة (11C5)
كلمات مرور مع قيود:
مثال اختباري: باسورد فيه:
• رمز خاص واحد (٩ خيارات)
• حرف كبير واحد (٢٦ خيار)
• حرف صغير واحد (٢٦ خيار)
• رقم واحد (١٠ خيارات)
• بعدين ٤ خانات من باقي ٦٧ رمز
• ممنوع التكرار

الجواب: 9 × 26 × 26 × 10 × 67 × 66 × 65 × 64
(نضرب لأنه الخانة الأولى و الثانية و الثالثة ...)
نظرية ذات الحدين:
(x + y)ⁿ = Σ C(n,k) · xⁿ⁻ᵏ · yᵏ

مثال اختباري: (−3x + 2y)³
= 3C0(−3x)³(2y)⁰ + 3C1(−3x)²(2y)¹ + 3C2(−3x)¹(2y)² + 3C3(−3x)⁰(2y)³
= −27x³ + 54x²y − 36xy² + 8y³
🔁 علاقات التكرار
❤️ كيف تحدّد النوع (احفظ هذا!):
خطية؟
لازم تكون على شكل مجموع حدود c·aₙ₋ₖ
مافي قوى، مافي ضرب حدود a، مافي دوال.

متجانسة؟
مافي حد ثابت (مثل +n).
كل حد فيه a من السابق.

معاملات ثابتة؟
كل المعاملات أعداد (ما تعتمد على n).

الدرجة:
أكبر فرق بين n و n−k.
أمثلة من الاختبار:
علاقة التكرار خطية؟ متجانسة؟ الدرجة
aₙ = 5aₙ₋₁₀ ✓ نعم ✓ نعم 10
aₙ = 17aₙ₋₃ + 39n ✓ نعم ✗ لا (فيه 39n) 3
aₙ = −6aₙ₋₁ − 9aₙ₋₂ ✓ نعم ✓ نعم 2
aₙ = 7aₙ₋₁aₙ₋₂ ✗ لا (ضرب) ✓ نعم 2
aₙ = 4aₙ₋₁ + 5aₙ₋₅ + 7aₙ₋₇ ✓ نعم ✓ نعم 7
حل الخطية المتجانسة (درجة ٢):
الصيغة: aₙ = c₁aₙ₋₁ + c₂aₙ₋₂
  1. اكتب المعادلة المميزة: r² − c₁r − c₂ = 0
  2. حل الجذور r₁, r₂
  3. إذا r₁ ≠ r₂: aₙ = α₁r₁ⁿ + α₂r₂ⁿ
  4. إذا r₁ = r₂ = r: aₙ = α₁rⁿ + α₂nrⁿ
  5. استخدم الشروط الابتدائية عشان تطلع α₁, α₂
غير متجانسة:
aₙ = c₁aₙ₋₁ + c₂aₙ₋₂ + F(n)

الحل = aₙ⁽ᵖ⁾ + aₙ⁽ʰ⁾

إذا F(n) خطية (cn + d): جرّب aₙ⁽ᵖ⁾ = An + B
إذا F(n) أسية (c·sⁿ): جرّب aₙ⁽ᵖ⁾ = A·sⁿ
التأكّد من حل:
معطى: aₙ = −2ⁿ⁺١ لـ aₙ = 3aₙ₋₁ + 2ⁿ
1. أوجد aₙ₋₁ = −2ⁿ
2. عوّض: −2ⁿ⁺¹ = 3(−2ⁿ) + 2ⁿ
3. بسّط: −2ⁿ⁺¹ = −3·2ⁿ + 2ⁿ = 2ⁿ(−3 + 1) = −2·2ⁿ = −2ⁿ⁺¹ ✓
🔗 العلاقات
الخصائص (R على مجموعة A):
  • انعكاسية: (a,a) ∈ R لكل a ∈ A
    كل القطر في المصفوفة = 1، وكل رأس له حلقة
  • لا انعكاسية: (a,a) ∉ R لكل a ∈ A
    مافي القطر = 1، ولا حلقة
  • متناظرة: (a,b) ∈ R → (b,a) ∈ R
    المصفوفة = منقولتها، الأسهم اتجاهين
  • غير متناظرة: (a,b) ∈ R و (b,a) ∈ R → a = b
    مافي سهمين بين رأسين مختلفين
  • متعدية: (a,b), (b,c) ∈ R → (a,c) ∈ R
    إذا في مسار a→b→c، لازم فيه سهم مباشر a→c
علاقة تكافؤ:
لازم تكون انعكاسية + متناظرة + متعدية
مثال اختباري - فحص الخصائص:
الرسم البياني: R = {(a,b), (b,e), (c,c), (c,b), (c,d), (d,c), (e,e), (e,d), (e,a)}

انعكاسية؟ لا - ناقص (a,a), (b,b), (d,d)
لا انعكاسية؟ لا - فيه (c,c), (e,e)
متناظرة؟ لا - (a,b) موجود و (b,a) لا
غير متناظرة؟ لا - فيه (c,d) و (d,c)
متعدية؟ لا - (a,b) و (b,e) موجود لكن (a,e) لا
تمثيل المصفوفة:
  • M[i][j] = 1 إذا (aᵢ, aⱼ) ∈ R، وإلا 0
  • الصفوف = من الرأس، الأعمدة = إلى الرأس
  • انعكاسية: كل القطر = 1
  • متناظرة: M = Mᵀ
التركيب (Q ∘ R):
(a,c) ∈ Q ∘ R إذا وجد b: (a,b) ∈ R و (b,c) ∈ Q

مثال اختباري:
Q = {(1,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
R = {(1,1), (2,3), (3,2), (1,2), (2,2)}

دوّر على الأزواج اللي R تربطها بـ Q:
(1,2)∈R و (2,3)∈Q → (1,3)∈Q∘R
الناتج: {(1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (1,3)}
الإغلاقات:
  • الإغلاق الانعكاسي: أضف (a,a) لكل a مو موجود
  • الإغلاق التناظري: أضف (b,a) لكل (a,b)
  • الإغلاق المتعدي: استمر بإضافة (a,c) كل ما وجدت (a,b) و (b,c) حتى ما يبقى شي يضاف
⚡ مرجع سريع وصيغ
متتاليات ومجاميع مهمة:
Σ(k=1 to n) k = n(n+1)/2
Σ(k=1 to n) k² = n(n+1)(2n+1)/6
Σ(k=0 to n) rᵏ = (rⁿ⁺¹ − 1)/(r − 1), r ≠ 1
Σ(k=0 to n) 2ᵏ = 2ⁿ⁺¹ − 1
مجاميع بأسلوب الاختبار:
مثال: Σ(i=0 to 8, i زوجي) 2·(−3)ⁱ
= 2·[(−3)⁰ + (−3)² + (−3)⁴ + (−3)⁶ + (−3)⁸]
= 2·[1 + 9 + 81 + 729 + 6561]
= 2·7381 = 14,762
ضرب المصفوفات:
لـ A(m×n) · B(n×p) = C(m×p)
C[i][j] = Σ A[i][k] · B[k][j]

مثال من الاختبار:
[3 5] [6 7 0] [38 11 0]
[0 9] · [4 -2 0] = [36 -18 0]
[-8 1] [-44 -58 0]
السقف والأرضية:
⌊x⌋ = أكبر عدد صحيح ≤ x
⌈x⌉ = أصغر عدد صحيح ≥ x

مثال: ⌊−3.1⌋ + ⌈1.3⌉ = −4 + 2 = −2
قيم خاصة:
0! = 1
C(n,0) = C(n,n) = 1
C(n,1) = C(n,n−1) = n
C(n,k) = C(n, n−k)
الجداء الديكارتي:
A × B × C = كل الثلاثيات المرتبة (a,b,c)
إذا |A|=3, |B|=2, |C|=2 → |A×B×C| = 3·2·2 = 12 عنصر

مثال: {C1,C2,C3} × {M1,M2} × {AI1,AI2}
= {(C1,M1,AI1), (C1,M1,AI2), (C1,M2,AI1), ...}
❌ أخطاء شائعة - تجنّبها:
  • ❌ استخدام P(n,r) والترتيب ما يهم → استخدم C(n,r)
  • ❌ تنسى تفحص كل الرؤوس للانعكاسية/اللا انعكاسية
  • ❌ تظن أن المتناظرة = عكس غير المتناظرة (غلط! تقدر تكون فيه الخاصيتين، أو ولا خاصية، أو وحدة)
  • ❌ ¬(p → q) ≠ ¬p → ¬q (الصحيح: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q)
  • ❌ |A ∪ B| ≠ |A| + |B| (لازم تطرح |A ∩ B|)
  • ❌ تخلط بين "متجانسة" و "معاملات ثابتة"
  • ❌ في البراهين: ما تكتب اسم قاعدة الاستدلال اللي استخدمتها
  • ❌ في التركيب: ترتيب العملية يهم! Q∘R ≠ R∘Q

📝 نصائح للاختبار النهائي

✓ ارسم جداول الصواب لمسائل المنطق
✓ ورّي كل خطواتك في براهين الاستقراء
✓ حلّل الأعداد كاملة عشان GCD/LCM
✓ وضّح الفرق بين التبديل والتوفيقة
✓ افحص خصائص العلاقات بشكل منظم