التراكيب الأساسية

المجموعات، الدوال، المتتاليات، المجاميع، والمصفوفات

الفصل الثاني - الرياضيات المتقطعة

فهرس المحتويات

١. المجموعات

التعريف: المجموعة هي تجمّع غير مرتب من الأشياء (عناصر). العناصر اللي في المجموعة تسمى عناصر أو أعضاء المجموعة.

١.١ أساسيات المجموعات

الترميز:
  • a ∈ A : تعني أن a عنصر من المجموعة A
  • a ∉ A : تعني أن a ليس عنصرًا من المجموعة A

١.٢ طرق وصف المجموعات

طريقة سرد العناصر

نسرد كل عناصر المجموعة بشكل صريح.

أمثلة:
  • S = {أ، ب، ج، د}
  • V = {أ، و، ي}
  • O = {١، ٣، ٥، ٧، ٩}
ملاحظة: الترتيب ما يهم، وتكرار العناصر ما يغيّر المجموعة.
S = {أ،ب،ج،د} = {ب،ج،أ،د} = {أ،ب،ج،ب،ج،د}

طريقة بناء المجموعة

نحدّد الصفات اللي لازم تتحقق في كل عنصر.

أمثلة:
  • S = {x | x عدد صحيح موجب أقل من ١٠٠}
  • O = {x ∈ ℤ⁺ | x فردي و x < ١٠}
  • Q⁺ = {x ∈ ℝ | x = p/q، حيث p,q أعداد صحيحة موجبة}

ترميز الفترات

الترميز صيغة بناء المجموعة النوع
[a, b] {x | a ≤ x ≤ b} فترة مغلقة
(a, b) {x | a < x < b} فترة مفتوحة
[a, b) {x | a ≤ x < b} نصف مفتوحة
(a, b] {x | a < x ≤ b} نصف مفتوحة

١.٣ مجموعات مهمة في الرياضيات

ℕ - الأعداد الطبيعية

{٠، ١، ٢، ٣، ٤، ...}

ℤ - الأعداد الصحيحة

{...، -٣، -٢، -١، ٠، ١، ٢، ٣، ...}

ℤ⁺ - الأعداد الصحيحة الموجبة

{١، ٢، ٣، ٤، ...}

ℚ - الأعداد النسبية (الكسرية)

الأعداد اللي تنكتب على صورة p/q حيث p,q أعداد صحيحة

ℝ - الأعداد الحقيقية

كل الأعداد النسبية وغير النسبية (√2, π, e)

ℝ⁺ - الأعداد الحقيقية الموجبة

كل الأعداد الحقيقية الأكبر من صفر

ℂ - الأعداد المركبة

{a + bi : a, b ∈ ℝ}

مجموعات خاصة

المجموعة الشاملة (U): المجموعة اللي تحتوي على كل شيء تحت الدراسة في سياق معين.
المجموعة الخالية (∅ أو {}): المجموعة اللي ما فيها أي عناصر.

١.٤ تساوي المجموعات والمجموعات الجزئية

تساوي المجموعات: مجموعتان متساويتان إذا وفقط إذا احتوتا على نفس العناصر.
A = B إذا وفقط إذا ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)
أمثلة:
  • {١، ٣، ٥} = {٣، ٥، ١}
  • {١، ٥، ٥، ٥، ٣، ٣، ١} = {١، ٣، ٥}
مجموعة جزئية (A ⊆ B): A مجموعة جزئية من B إذا كان كل عنصر من A هو أيضًا عنصر من B.
A ⊆ B إذا وفقط إذا ∀x (x ∈ A → x ∈ B)
مجموعة جزئية فعلية (A ⊂ B): إذا كانت A ⊆ B ولكن A ≠ B، نقول A مجموعة جزئية فعلية من B.
خصائص مهمة:
  • ∅ ⊆ S لكل مجموعة S
  • S ⊆ S لكل مجموعة S
  • A = B إذا وفقط إذا A ⊆ B و B ⊆ A

عدد العناصر (Cardinality)

عدد العناصر: إذا كان في المجموعة S بالضبط n عنصرًا مختلفًا (n عدد صحيح غير سالب)، نسمي S مجموعة منتهية و |S| = n هو عدد عناصر S.
أمثلة:
  • |∅| = ٠
  • |{١، ٢، ٣}| = ٣
  • |{∅}| = ١
  • |{حروف العربية}| = ٢٨

مجموعة القوى (Power Set)

مجموعة القوى P(A): مجموعة كل المجموعات الجزئية للمجموعة A.
إذا كان |A| = n، فإن |P(A)| = 2ⁿ
مثال: إذا A = {أ، ب}
P(A) = {∅، {أ}، {ب}، {أ، ب}}
|P(A)| = ٤ = 2²

الجداء الديكارتي (Cartesian Product)

الجداء الديكارتي (A × B): مجموعة كل الأزواج المرتبة (a, b) حيث a ∈ A و b ∈ B.
A × B = {(a, b) | a ∈ A و b ∈ B}
مثال: نفرض A = {أ، ب} و B = {١، ٢، ٣}
A × B = {(أ،١)، (أ،٢)، (أ،٣)، (ب،١)، (ب،٢)، (ب،٣)}

٢. عمليات المجموعات

٢.١ الاتحاد والتقاطع

الاتحاد (A ∪ B)

A ∪ B = {x | x ∈ A أو x ∈ B}
مثال:
{١، ٢، ٣} ∪ {٣، ٤، ٥} = {١، ٢، ٣، ٤، ٥}

التقاطع (A ∩ B)

A ∩ B = {x | x ∈ A و x ∈ B}
مثال:
{١، ٢، ٣} ∩ {٣، ٤، ٥} = {٣}

ملاحظة: إذا كان A ∩ B = ∅، نقول A و B منفصلتان.

٢.٢ المتممة والفرق

المتممة (Ā)

Ā = U - A = {x ∈ U | x ∉ A}
مثال:
إذا كان U = {الأعداد الصحيحة الموجبة < ١٠٠}
و A = {x | x > ٧٠}
فإن Ā = {x | x ≤ ٧٠}

الفرق (A - B)

A - B = {x | x ∈ A و x ∉ B} = A ∩ B̄
مثال:
{١، ٢، ٣، ٤، ٥} - {٤، ٥، ٦، ٧، ٨} = {١، ٢، ٣}

الفرق المتماثل (A ⊕ B)

A ⊕ B = (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)
مثال:
A = {١، ٢، ٣، ٤، ٥}، B = {٤، ٥، ٦، ٧، ٨}
A ⊕ B = {١، ٢، ٣، ٦، ٧، ٨}

عدد عناصر الاتحاد

مبدأ التضمين والاستبعاد (Inclusion-Exclusion):
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

٢.٣ متطابقات المجموعات

المتطابقة الاسم
A ∪ ∅ = A
A ∩ U = A		 قوانين الهوية
A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅		 قوانين الهيمنة
A ∪ A = A
A ∩ A = A		 قوانين تكرار العملية
(Ā) = A قانون المتممة المزدوجة
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A		 قوانين التبادل
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)		 قوانين التجميع
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)		 قوانين التوزيع
(A ∪ B) = Ā ∩ B̄
(A ∩ B) = Ā ∪ B̄		 قوانين ديمورجان
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A		 قوانين الامتصاص
A ∪ Ā = U
A ∩ Ā = ∅		 قوانين المتممة

٣. الدوال

التعريف: الدالة f من A إلى B، ونرمز f: A → B، هي تعيين (إسناد) كل عنصر من A إلى عنصر وحيد من B.

مصطلحات الدالة

مصطلحات أساسية:
  • المجال (Domain): المجموعة A (من أين تبدأ الدالة).
  • المجال المقابل (Codomain): المجموعة B (إلى أين يمكن أن تذهب الدالة).
  • صورة a (Image): القيمة f(a) = b.
  • الصورة العكسية لـ b: العنصر a حيث f(a) = b.
  • المدى (Range): f(A) = {f(a) | a ∈ A}، مجموعة كل الصور.

٣.١ أنواع الدوال

دالة تباينية (Injective / One-to-One)

الدالة f تباينية إذا:
f(a) = f(b) ⇒ a = b
أو بصيغة ثانية: a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b)

كل عنصر في المجال المقابل له صورة عكسية واحدة على الأكثر.

دالة شمولية (Surjective / Onto)

الدالة f: A → B شمولية إذا:
∀b ∈ B، ∃a ∈ A بحيث f(a) = b

كل عنصر في المجال المقابل له صورة عكسية واحدة على الأقل.

دالة تقابلية (Bijective / One-to-One Correspondence)

الدالة تقابلية إذا كانت تباينية وشمولية في نفس الوقت.

كل عنصر في المجال المقابل له صورة عكسية واحدة فقط.

أمثلة مع f: ℝ → ℝ:
  • f(x) = x: تباينية ✓، شمولية ✓، تقابلية ✓
  • f(x) = x²: ليست تباينية (f(-2)=f(2))، ليست شمولية (مافي x يعطي -1) ✗
  • f(x) = x³: تباينية ✓، شمولية ✓، تقابلية ✓
  • f(x) = |x|: ليست تباينية، ليست شمولية ✗

الدالة العكسية

الدالة العكسية f⁻¹: إذا كانت f تقابلية من A إلى B، فإن الدالة العكسية f⁻¹: B → A تُعرّف كالتالي:
f⁻¹(b) = a إذا وفقط إذا f(a) = b
مهم: الدالة العكسية موجودة إذا وفقط إذا كانت f تقابلية!
مثال: f: ℤ → ℤ حيث f(x) = x + 1
f⁻¹(y) = y - 1

تركيب الدوال

التركيب (f ∘ g): نفرض g: A → B و f: B → C. التركيب هو:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
مثال: f(x) = 2x + 3، g(x) = 3x + 2
  • (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7
  • (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11

٣.٢ دوال خاصة

دالة الجزء الصحيح السفلي (Floor) ⌊x⌋

أكبر عدد صحيح ≤ x
أمثلة:
  • ⌊3.7⌋ = 3
  • ⌊-0.5⌋ = -1
  • ⌊5⌋ = 5

دالة الجزء الصحيح العلوي (Ceiling) ⌈x⌉

أصغر عدد صحيح ≥ x
أمثلة:
  • ⌈3.2⌉ = 4
  • ⌈-0.5⌉ = 0
  • ⌈5⌉ = 5

دالة المضروب (Factorial) n!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n-1) × n لكل n ≥ 1
0! = 1
أمثلة:
  • 3! = 1 × 2 × 3 = 6
  • 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
  • 10! = 3,628,800

٤. المتتاليات والمجاميع

المتتالية: دالة مجالها مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة (عادةً {٠، ١، ٢، ٣، ...} أو {١، ٢، ٣، ...}) ومداها مجموعة S. نرمز لصورة n بالرمز aₙ.

أنواع المتتاليات

المتتالية الهندسية

a, ar, ar², ar³, ar⁴, ...
a هو الحد الأول، r هو النسبة المشتركة
أمثلة:
  • a = 2، r = 5: ٢، ١٠، ٥٠، ٢٥٠، ١٢٥٠، ...
  • a = 6، r = 1/3: ٦، ٢، ٢/٣، ٢/٩، ٢/٢٧، ...

المتتالية الحسابية

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...
a هو الحد الأول، d هو الفرق المشترك
أمثلة:
  • a = -1، d = 4: -١، ٣، ٧، ١١، ١٥، ...
  • a = 7، d = -3: ٧، ٤، ١، -٢، -٥، ...

متتالية فيبوناتشي

التعريف:
  • الشروط الابتدائية: f₀ = ٠، f₁ = ١
  • علاقة التكرار: fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂ لكل n ≥ 2
الحدود الأولى: ٠، ١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨، ١٣، ٢١، ٣٤، ٥٥، ٨٩، ...

علاقات التكرار

علاقة التكرار: معادلة تعبّر عن aₙ بدلالة حد أو أكثر من الحدود السابقة للمتتالية (a₀, a₁, ..., aₙ₋₁).
مثال: aₙ = aₙ₋₁ + 3 مع a₀ = 2
  • a₁ = a₀ + 3 = 2 + 3 = 5
  • a₂ = a₁ + 3 = 5 + 3 = 8
  • a₃ = a₂ + 3 = 8 + 3 = 11
  • الحل العام: aₙ = 2 + 3n

المجاميع (Summations)

Σ (من j=m إلى n) aⱼ = aₘ + aₘ₊₁ + aₘ₊₂ + ... + aₙ
الترميز:
  • j هو مؤشر الجمع
  • m هو الحد الأدنى
  • n هو الحد الأعلى

صيغ جمع مهمة

الصيغة الناتج
Σ (k=1 to n) k n(n+1)/2
Σ (k=1 to n) k² n(n+1)(2n+1)/6
Σ (k=1 to n) k³ [n(n+1)/2]²
Σ (k=0 to n) rᵏ (rⁿ⁺¹ - 1)/(r - 1), r ≠ 1
Σ (k=1 to ∞) xᵏ 1/(1-x), |x| < 1
مثال: جد Σ (k=1 to 100) k
الحل: باستخدام الصيغة: 100(100+1)/2 = 100×101/2 = 5,050

٥. المصفوفات

المصفوفة: ترتيب مستطيل من الأعداد. المصفوفة اللي فيها m صف و n عمود تسمى مصفوفة m × n.

تساوي المصفوفات

مصفوفتان A و B متساويتان إذا كان لهما نفس الأبعاد وكانت المداخل المتناظرة متساوية:
A = B إذا وفقط إذا aᵢⱼ = bᵢⱼ لكل i, j

عمليات المصفوفات

جمع المصفوفات

إذا كانت A و B مصفوفتين من النوع m × n، فإن A + B هي مصفوفة m × n حيث:
(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
مثال: 
[1  2]   [4  5]   [5  7]
[3  4] + [6  7] = [9  11]

الضرب بعدد قياسي

إذا كانت A مصفوفة m × n و c عدد قياسي، فإن cA هي مصفوفة m × n حيث:
(cA)ᵢⱼ = c · aᵢⱼ
مثال: 
    [1  2]   [3   6]
3 × [3  4] = [9  12]

ضرب المصفوفات

إذا كانت A مصفوفة m × k و B مصفوفة k × n، فإن AB هي مصفوفة m × n حيث:
(AB)ᵢⱼ = Σ (p=1 to k) aᵢₚ · bₚⱼ
مهم: عدد أعمدة A يجب أن يساوي عدد صفوف B!

مصفوفات خاصة

مصفوفة الوحدة (Iₙ)

مصفوفة n × n فيها ١ على القطر الرئيسي و ٠ في باقي الخانات. 
I₃ = [1  0  0]
     [0  1  0]
     [0  0  1]

مصفوفة الصفر

مصفوفة كل مداخلها ٠. 
O₂ₓ₃ = [0  0  0]
       [0  0  0]

منقولة المصفوفة (Transpose)

المنقولة (Aᵀ): منقولة مصفوفة A من النوع m × n هي مصفوفة n × m نحصل عليها بتبديل الصفوف بالأعمدة:
(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ
مثال: 
إذا كانت A = [1  2  3]    فإن Aᵀ = [1  4]
            [4  5  6]              [2  5]
                                   [3  6]
مصفوفة متناظرة (Symmetric): المصفوفة A متناظرة إذا كانت A = Aᵀ (يجب أن تكون مربعة).

قوى المصفوفات

للمصفوفة المربعة A:
  • A⁰ = I (مصفوفة الوحدة)
  • A¹ = A
  • Aⁿ = A · A · ... · A (n مرة)

مصفوفات الصفر-واحد (Zero-One Matrices)

مصفوفة الصفر-واحد: مصفوفة كل مداخلها إما ٠ أو ١.

الجداء البولي (A ⊙ B)

لمصفوفات الصفر-واحد، الجداء البولي يستخدم عمليات OR و AND:
(A ⊙ B)ᵢⱼ = (aᵢ₁ ∧ b₁ⱼ) ∨ (aᵢ₂ ∧ b₂ⱼ) ∨ ... ∨ (aᵢₖ ∧ bₖⱼ)

نستبدل الضرب بـ AND (∧) والجمع بـ OR (∨).

القوى البولية

  • A⁽⁰⁾ = I
  • A⁽ⁿ⁾ = A⁽ⁿ⁻¹⁾ ⊙ A

ملخص

هذا التقرير الشامل غطى التراكيب الأساسية في الرياضيات المتقطعة:

  • المجموعات: أساس الرياضيات، وتشمل العمليات، المتطابقات، وعدد العناصر.
  • الدوال: الربط بين المجموعات، وتشمل الدوال التباينية، الشمولية، التقابلية.
  • المتتاليات: قوائم مرتبة مثل المتتاليات الحسابية والهندسية، مع صيغ الجمع.
  • المصفوفات: ترتيبات مستطيلة من الأعداد وعملياتها، وهي أساسية في الجبر الخطي وعلوم الحاسب.