📚 المنطق والبراهين

• المقدمة #1: لو سارة أكلت خضارها، تقدر تاخذ بسكوتة.
• المقدمة #2: سارة أكلت خضارها.
• النتيجة: سارة تاخذ بسكوتة. ✓

1. القمر مصنوع من جبنة خضرا. (خاطئة، بس هي قضية)
2. القاهرة هي عاصمة مصر. (صحيحة)
3. تورونتو هي عاصمة كندا. (خاطئة)
4. ١ + ٠ = ١ (صحيحة)
5. ٠ + ٠ = ٢ (خاطئة)

1. اجلس! (أمر - مو جملة خبرية)
2. كم الساعة؟ (سؤال - مو جملة خبرية)
3. س + ١ = ٢ (متغير - قيمتها تعتمد على س)
4. س + ص = ع (عدة متغيرات - مو جملة محددة)

p: "الأرض كروية."

¬p: "الأرض مو كروية."

p: "أنا في البيت."

q: "السماء تمطر."

p ∧ q: "أنا في البيت والسماء تمطر."

p: "أنا في البيت."

q: "السماء تمطر."

p ∨ q: "أنا في البيت أو السماء تمطر."

الأصلية: "إذا السماء تمطر، ما أروح للمدينة."

• العكس: إذا ما رحت للمدينة، فالسماء تمطر.
• المعكوس: إذا السماء ما تمطر، بروح للمدينة.
• المضاد للعكس: إذا رحت للمدينة، فالسماء ما تمطر.

• p إذا وفقط إذا q
• p iff q
• p ضروري وكافٍ لـ q
• إذا p إذن q، والعكس صحيح

• P(x): "x أكبر من ٥" - P مسند، x متغير
• Q(x, y): "x + y = ١٠" - Q مسند بمتغيرين
• R(x): "x عدد أولي"

هذي الجمل تصير قضايا لما نعطي قيم محددة للمتغيرات أو نستخدم الكمات.

• ∀x (x + 0 = x) - "لكل عدد x، x + 0 = x"
• ∀x (x² ≥ 0) - "لكل عدد حقيقي x، x² أكبر أو يساوي ٠"

• ∃x (x² = 4) - "يوجد عدد x بحيث x² = 4" (مثلاً x = 2)
• ∃x (x + 5 = 0) - "يوجد x بحيث x + 5 = 0" (x = -5)

• ∀x ∃y (x + y = 0) - "لكل x، يوجد y بحيث x + y = 0" (صحيحة للأعداد الحقيقية)
• ∃y ∀x (x + y = 0) - "يوجد y بحيث لكل x، x + y = 0" (خاطئة للأعداد الحقيقية)

ترتيب الكمات يقدر يغير المعنى تمامًا!

نفترض الفرضية صحيحة ونستخدم خطوات منطقية عشان نثبت النتيجة لازم تكون صحيحة.

البرهان:

1. نفترض n زوجي.
2. إذن n = 2k لعدد صحيح k (تعريف الزوجي).
3. n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).
4. بما أن 2k² عدد صحيح، إذن n² زوجي ✓.

عشان نثبت p → q، بدالها نثبت ¬q → ¬p (لأنهم متكافئين منطقيًا).

البرهان بالمضاد للعكس: إذا كان n زوجي، فإن n² زوجي (أثبتناه فوق).

نفترض العبارة خاطئة ونوصل لتناقض.

البرهان:

1. نفترض √2 نسبي (افتراض التناقض).
2. إذن √2 = a/b حيث a,b أعداد صحيحة بدون عوامل مشتركة.
3. ٢ = a²/b²، إذن 2b² = a².
4. إذن a² زوجي، وبالتالي a زوجي.
5. نفرض a = 2k، إذن 2b² = 4k²، إذن b² = 2k².
6. إذن b² زوجي، وبالتالي b زوجي.
7. لكن هذا يناقض افتراض أن a و b مافي بينهم عوامل مشتركة!
8. إذن √2 لازم يكون غير نسبي ✓.

المقدمات:

1. السماء ليست مشمسة هذا الظهر والجو أبرد من البارحة.
2. إذا سبحنا، فالسماء مشمسة هذا الظهر.
3. إذا ما سبحنا، بنأخذ رحلة بقارب.
4. إذا أخذنا رحلة بقارب، بنكون بالبيت قبل الغروب.

النتيجة: بنكون بالبيت قبل الغروب.

الترجمة لرموز قضوية:

المقدمات بالرموز:

البرهان:

1. ¬p ∧ q (مقدمة ١)
2. ¬p (تبسيط من ١)
3. r → p (مقدمة ٢)
4. ¬r (مودس تولنس من ٢ و ٣)
5. ¬r → s (مقدمة ٣)
6. s (مودس بوننس من ٤ و ٥)
7. s → t (مقدمة ٤)
8. t (مودس بوننس من ٦ و ٧) ✓